数学思想史 (2008 年度畅销榜NO.1103 )

本书主要内容包括中国古代数学和希腊古代数学，近代与现代数学中的解析几何、微积分、离散数学、函数论、微分方程、非欧几何、概率、混沌、NPC理论以及数学哲学等主要数学分支的原始创新、重大成就的孕育、发展和完善的历史过程和重要数学思想。穿插介绍各学科主要代表人物的思想方法与其治学做人的可贵之\r\n\r\n处。本书史料翔实，文字简练生动，数学论证严谨易懂，集思想性、知识性、史料性于一册，是提高科学文化素质和增长知识的理想读本，可作为综合大学与师范大学的教材，亦可供有志者自学。\r\n\r\n \r\n
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第一章 辉煌的中国古代数学 \r\n\r\n 1 《周髀算经》与勾股定理 \r\n\r\n 2 中国古代最优秀的数学经典--《九章算术》 \r\n\r\n 3 中国古代最伟大的数学家--刘徽 \r\n\r\n 4祖家父子与 \r\n\r\n 5唐宋元五杰--僧. 秦. 杨. 李. 朱 \r\n\r\n 6 中国古代数学的衰落 \r\n\r\n 7 中国古代传统数学向西方数学过渡 \r\n\r\n \r\n\r\n 第二章 灿烂的希腊古代数学与第一次数学危机 \r\n\r\n 1 毕达哥拉斯学派的是非和第一次数学危机 \r\n\r\n 2 三大几何作图问题 \r\n\r\n 3 柏拉图学派. 亚力山大学派和数学的逻辑化 \r\n\r\n 4 古希腊数学的衰落 \r\n\r\n \r\n\r\n 第三章 解析几何开辟高等数学新纪元 \r\n\r\n 1 划时代的数学家和划时代的数学学科 \r\n\r\n 2 解析几何的发展与完善 \r\n\r\n 3 几何定理的机器证明 \r\n\r\n \r\n\r\n 第四章 微积分和第二次数学危机 \r\n\r\n 1 微积分产生的社会背景和数学渊源 \r\n\r\n 2 牛顿和莱布尼兹发明微积分 \r\n\r\n 3 第二次数学危机 \r\n\r\n 4 微积分发展与完善的历程 \r\n\r\n \r\n\r\n 第五章 离散数学与第三次数学危机 \r\n\r\n 1 集合论与第三次数学危机 \r\n\r\n 2 图与NPC理论 \r\n\r\n 3 数理逻辑与哥德尔命题 \r\n\r\n 4 数论 \r\n\r\n 5 代数 \r\n\r\n \r\n\r\n 第六章 函数论. 变分法与泛画分析 \r\n\r\n 1 复变函数论 \r\n\r\n 2 实变函数论 \r\n\r\n 3 变分法与泛函分析 \r\n\r\n \r\n\r\n 第七章 微分方程 \r\n\r\n 1 常微分方程 \r\n\r\n 2 常微分方程定性理论 \r\n\r\n 3 偏微分方程 \r\n\r\n \r\n\r\n 第八章 《几何原本》与反欧几何 \r\n\r\n 1 《几何原本》 \r\n\r\n 2 反欧几何 \r\n\r\n \r\n\r\n 第九章 概率与混沌 \r\n\r\n l 概率论与数理统计 \r\n\r\n 2 分形与混沌 \r\n\r\n \r\n\r\n 第十章 数学史的启示 \r\n\r\n l 数学的源泉与数学文化 \r\n\r\n 2 数学的严格性和3个数学学派 \r\n\r\n 3 纯粹数学与应用数学都是好数学 \r\n\r\n 4 数学家是些什么人 \r\n\r\n 5 悖论与数学 \r\n\r\n 6 社会文明与数学 \r\n\r\n 附录 \r\n\r\n 1 数学史大事年表 \r\n\r\n 2 国际数学家大会与世界级数学奖 \r\n\r\n 3 中外主要数学期刊 \r\n\r\n 4 中国历代纪元 \r\n\r\n 参考文献 \r\n
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王树禾, 河北乐亭人, 1938年生, 毕业于北京大学数力系, 中国科学技术大学教授. 从事微分议程与应用数学研究与教学, 在拟线性抛物型方程. 多项式微分系统与离散数学等课题上发表论文30余篇. 出版《微分议程与混沌斋》等著作18种. 获中国科学院优秀教学成果一等奖和国家级数学成果二等奖等奖项.

若欲预见数学的将来, 正确的方法是研究它的历史和现状.

——庞加莱

本书是作者在中国科技大学数学系. 00教学实验班和少年班高年级主讲数学史课程的讲稿经整理编撰而成的. 著书的初衷是为综合大学或师范大学数学等专业提供一部可读性与可教性都比较强的好用的教材, 同时也为从事数学工作. 数学教育的同志和数学爱好者提供一部参考书.

几千年的数学长河, 已经汇成人类的智慧之海, 其主要业绩不是这么一本小书可以包容的, 加之本书作者学识有限, 量时量力, 只能选取若干主要学科分块撰写, 对数学史上典型的事件和人物进行编录和分析. 由于参阅了足够多的史料, 史实似不会失真(个别年代各史料其说不一, 大体上误差不大), 但分析则纯属作者的

个人行为, 未必准确, 失误之处, 盼望读者和行家批评指正.

全书共分10章, 各章主要内容如下.

第一章讲述中国古代(从上古(约公元前2000年)到14世纪)数学的辉煌成就, 其中商高定理. 圆周率的近似值和中国剩余定理等是中国对人类科学的重大贡献, 《九章算术》则是中果数学的王牌文献, 刘. 祖. 祖. 僧. 秦. 杨. 李. 朱是世人敬仰的八大数学家, 他们的人品. 才智和数学成果皆为后世之榜样.

可悲的是, 由于中国的封建政治和中国古代数学的弱点, 从14世纪到20世纪初, 中国数学基本上停滞不前, 落后于西方数学一大截, 很值得我们搞数学的同志们深思, 以便从中悟出中国数学事业振兴的正确道路, 把中国尽快建设成数学强国. 值得我们探讨的具体历史事件很多, 例如《庄子》中曰：“一尺之棰, 日取其半,

万世不竭. ”这已经是无穷小思想的萌芽, 刘徽和祖 在研究牟合方盖的体积以及建立“刘祖等幂等积定理”时, 已经行至微积分门槛之下, 为什么不再迈一步呢?

第二章讲述古希腊灿烂的数学成就和第一次数学危机, 毕达哥拉斯. 欧几里得. 阿基米德和阿波罗尼斯四巨头的伟大业绩, 是人类永远要继承的宝贵遗产.

毕达哥拉斯功过兼备, 他乱提口号, 打出“万物皆数”(他的数仅指正有理数)的旗帜, 引火烧身, 成了第一次数学危机的始作俑者. 当然数学危机是好事, 第一次数学危机使人们突破了正分数的局限, 进而发现了无理数, 后人戴德金等数学家的理论工作使实数理论日臻完善.

古希腊数学家提出规尺三大作图问题(化圆为方. 倍立方和三等分角), 貌似初等, 引诱人们不停顿地冲击了2000余年不得其解, 一直等到近世代数与数论的一些成果出现之后, 才有了理论依靠而得证三大作图题用无刻直尺和圆规是不可解的. 这正如一个人丢了钥匙, 总在一个电线杆下面寻找, 路人问他, 为什么不到别

处找找, 失主答：其他地方没有路灯. 一候数学的“路灯”打开得多了, 我们才能找到数学遗难问题的解答. 有些数学问题, 例如3x+l问题. Ulam猜想之类, 在它们的理论根子没发掘出来之前, 很难拔得动. 理论(例如算术基本定理. 代数基本定理. 微积分基本定理等)的指导在数学中是首要的, 拒绝理论思维, 过分强调实

践不是数学家的思想作风.

第三章讲述解析几何的历史, 笛卡儿真了不起, 他的坐标系为现代数学搭建了框架结构, 而解析几何则使初等数学嬗变为高等数学, 他有不朽名言：

“一切问题可以化为数学问题,

一切数学问题可以化为代数问题,

一切代数问题可以化为方程求解. ”

此言虽有些偏颇, 但很多时候确实如此.

在笛卡儿的思想和传统的中国数学思想启发下, 我国著名数 学家吴文俊. 张景中等人在几何的机器证明领域取得了世界领先 的成果.

笛卡儿的解析几何和数学史上任何重大成果一样, 并非天才 人物的突发奇想或空穴来风, 都是在数学科学的历史积累之中孕育的, 例如著名的“帕波斯问题”对笛卡儿的启发作用功不可没.

第四章讲述微积分史和第二次数学危机.

微积分是科学史上最为伟大的成就之一, 它对人类科学技术的进步所起的作用, 无论如何评价, 也不为过. 微积分的成果是牛顿与莱布尼兹“站在巨人的肩膀上”取得的, 例如巴罗教授的“微分三角形”等就是点燃牛顿流数思想的火石.

牛顿与莱布尼兹虽属天才, 但其初创的微积分, 难免带有新生儿的稚气和表达缺欠, 当初连他们自己也说不清楚流数的定义及其有关推理是否严格(当时其实是不严格的), 在伯克莱的发难面前, 显得十分被动, 引起了第二次数学危机. 对此本书做了不偏不倚的分析评述, 并阐述在以后的两百多年里, 各路数学家是如何加

固微积分的基础的.

在数学的历史上, 此种危机现象已多次发生, 例如i＝-1的出现曾被人贬为“诡辩量”, 用它进行运算时感到“道德上的折磨”,

罗巴切夫斯基提出非欧几何时, 大多数数学家认为这种几何是“荒唐透顶的伪科学”. 19世纪傅里叶创立三角函数时的情景如出一辙, 由于基础不牢, 弄得傅里叶的稿子多次审查都通不过而退稿, 后来还是狄里克利给出傅氏级数收敛性定理才算成功, 应证了达兰贝尔的名言：“向前进, 你就会产生信念. ”

第五章讲述离散数学史和第三次数学危机. 一则好似笑话的罗素悖论, 弄得天才数学家康托尔的集合论不能自圆其说, 惹出第三次数学危机, 直到朴素集合论蜕变为公理集合论时, 才平息了轰动一时的第三次数学危机. 敢问：是否还会有第四次乃至第n+1次数学危机呢?

哥德尔是古今数学家中最具思想家气质的一位哲人, 他提出不可判定的所谓“哥德尔命题”, 一举推翻了20世纪鼓舞人心的“希尔伯特纲领”, 恰似晴天霹雷般惊醒了20世纪一派升平乐观的数学界, 大家不得不承认公理系统中未必是无矛盾的太平盛世.

图灵定义了什么是计算, 而库克和卡普则开发出一个所谓NPC问题集团, 计算机数学面临着严酷的挑战.

数论与代数中的诸多遗难问题是否与计算复杂度或不可判定性理论有关系呢?

第六章讲述复变与实变函数论以及变分法与泛函分析的历史.

复变函数论被誉为19世纪数学的享受, 是纯数学与应用数学当中最为优秀的理论系统之一.

外尔斯特拉斯等人构造了点点连续但点点不光滑的函数实例, 皮亚拿则给出一条能装满一个正方形(或长方形)的若当曲线, 种种鬼怪式的函数使得人们觉得还需要对实变函数进行更细致的探讨, 进而发展出实变函数论这样一个深刻精彩的主要研究可测函数与各种积分理论的数学分支.

伯努利家族提出的速降线与悬链线问题的挑战, 促生了变分法与泛函分析两个现代学科. 泛函方法则是现代微分方程研究的最重要的数学手段之一, 例如广义函数与不动点定理等, 是研究非线性方程解的存在唯一性的理论基础.

第七章讲述微分方程史, 分别介绍常微分方程. 常微分方程定性理论和偏微分方程的发展轨迹.

一则表达简洁的黎卡提方程 dy/dx＝x2+y2

的求解问题难住了包括欧拉和莱布尼兹在内的众多著名数学家, 150余年不得其解, 宜到1841年刘维尔证明黎卡提方程一般不存在初等函数的积分表达的解, 才使人们求通解的奢望开始收敛, 转向方程的适定性研究. 从19世纪开始, 以庞. 李. 班. 白4位杰出数学家为首, 开展了运动稳定性和定性理论的研究, 后来, 苏联的

力学家安德罗诺夫和盲人数学大师庞特列雅金建立了结构稳定性理论. 随着定性理论的发展, 冲击希尔伯特第16问题的势头风起云涌, 20世纪50年代, 苏联权威学者发表文章说二次系统的极限环最多者恰3个, 一时间为之轰动. 1976年, 中国数学家们给出有4个极限环的二次系统的实例, 于是得出二次系统的极限环个数最多者不少于4个, 但至今未证明或反驳存有5个极限环的二次系统. 至于高次多项式系统的极限环个数问题, 恐怕不是近期可以解决的.

非线性方程中的内容非常之丰富, 对于哈密顿系统, 20世纪建立了最富盛名的以KAM定理, 从常微分方程的定性理论蜕变出一个富有生命力的数学分支——微分动力系统.

微分方程是一个十分有用又十分有魅力的学科. 1917年和1925年两次出任法兰西共和国总理的班勒卫博士对微分方程有深入研究和重要贡献, 他是法国著名数学家, 巴黎科学院院士, 1920年曾访问北京大学并对中国的科学研究提出了建设性意见.

偏微分方程是数学的中心学科之一. 人们对热传导. 电磁场和弦振动等物理问题建立的数学模型开创了近代偏微分方程的研究, 傅里叶为解热传导问题发明了函数的三角级数展开方法, 以此级数为工具, 求得了不少重要的线性偏微分方程的解, 三角级数是19世纪最精彩的数学创造之一.

对偏微分方程有奠基性贡献的一位传奇式人物是柯瓦列夫斯卡雅, 她对非线性偏微分方程组的柯西问题建立且证明了解析解的存在唯一性定理, 还因成功解决有“百年数学水妖”之称的关于刚体绕定点转动规律问题而获法国科学院大奖, 这一问题把很多大数学家难住达上百年, 柯瓦列夫斯卡雅的道德文章是今天每个有志科学研究的年轻朋友的榜样, 她的名言则是做人做学问的信条：

“说你知道的话,

干你应干的事,

成为你想做的人. ”

第八章讲述《几何原本》的内容和罗巴切夫斯基等人非欧几何的工作成就. 欧几里得的《几何原本》是数学史上影响最为深远的名著, 至今它的主要内容仍列入中学生的必修课. 《几何原本》中的第五公设在数学史上惹出了极大的麻烦, 证又证不明, 接受起来又不情愿, 于是有人考虑什么样的两条直线平行?三角形的内角

和究竟是多少度等深刻的问题, 出现了与欧几里得相左的所谓非欧几何(也称为反欧几何). 于是相反相成. 是非并存的几何同时在数学中流通, 搞非欧几何的革新家的才智和胆量(也有胆怯的, 例如伟大的数学家高斯)实为近世数学界的骄傲.

第九章讲述不确性数学, 主要谈概率与混沌两个学科.

概率论是从诸如掷银子. 分赌本之类不入大雅之堂的事情入手渐渐发展出来的, 但它的大数定律和中心极限定理却是现代数学当中最为高雅. 最富哲理和有广泛用途的数学理论之一, 能从随机事件中找出确定的规律性, 这种数学确实生动诱人.

混沌是20世纪四大科学成就之一, 另3个是量子力学. 相对论和电子计算机. 混沌是确定性系统中变化极端复杂和行为不可预测的同义语, 作为极现代(1975年混沌作为数学名词首次出现)的数学概念则是指轨线对初值的敏感. 拓扑传递和有处处稠密的周期点等内涵丰富的一种数学表现. 正如科学家格莱克所说：“混沌排除了拉普拉斯决定论的可预测性的狂想. ”混沌之父洛伦兹形象地描述混沌说：“巴西境内的一只蝴蝶扇动翅膀, 可能引起德克萨斯州的一场龙卷风. ”

第十章讲述历史上各数学学派的主张和代表人物的思想以及各派间的争论. 涉及什么是数学. 数学为什么要证明. 纯数学与应用数学有否高低贵贱之分. 数学家是些什么人等问题.

希望本书能使想做数学家的年青朋友得到某些启发与借鉴, 学习牛顿和高斯等从何处下手找到切入点, 来创造新的概念和理论. 学习柯西和外尔斯特拉斯等如何对一门不够严格的新生数学分支进行理论装修. 本书作者也祝愿不想以数学为职业的读者喜欢数学, 读一些数学史上的名人名言. 事实上, 数学是一种高层次文化, 可以提高我们的文化修养和科学素质. 数学会使人上瘾, 即使你想驱除它, 也别指望真的能驱除得了. 数学的历史和你本人的体验一定会证明这一点. 但愿这本书能成为你永远的好朋友.

本书是中国科学技术大学教材审批委员会组织的指令性选题, 作者对中国科学技术大学数学系和教务处对本书写作的支持深表感谢.

王树禾

2003年1月